벡터공간의 정의
체 $F$ 에서의 벡터공간은 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.
- 체 : 대수적 구조의 하나로, 간단히 말해 사칙연산을 집합 안에서 소화할 수 있는 집합을 의미한다.
- 합 -> 벡터공간 $V$의 두 원소, $x,y$에 대해 유일한 원소 $x + y \in V$ 를 대응하는 연산이다.
- 스칼라 곱은 체 $F$ 의 원소 $a$와 벡터공간 $V$의 원소 $x$ 마다 유일한 원소 $ax \in V$를 대응하는 연산이다.
- VS1 : 모든 $x,y \in V$에 대하여 $x + y = y + x$이다.
- VS2 : 모든 $x,y,z \in V$ 에 대하여 $(x + y) + z = x + (y + z)$ 이다.
- VS3 : 모든 $x \in V$에 대하여 $x + 0 = x$ 인 $0 \in V$가 존재한다.
- VS4 : 각 $x \in V$ 마다 $x+y=0$ 인 $y \in V$ 가 존재한다.
- VS5 : 각 $x \in V$ 에 대하여, $1x = x$ 이다.
- VS6 : 모든 $a,b \in F$ 와 모든 $x \in V$ 에 대하여 $(ab)x = a(bx)$ 이다.
- VS7 : 모든 $a \in F$와 모든 $x,y \in V$ 에 대하여 $a(x+y)=ax + ay$ 이다.
- VS8 : 모든 $a,b \in F$ 와 모든 $x \in V$ 에 대하여 $(a+b)x = ax +bx$ 이다.
벡터?
벡터는 벡터공간의 원소를 가르키는 일반적인 개념이다.
행렬?
체 $F$ 에서 성분을 가져온 $m \times n$ 행렬은 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
\[\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array} \right)\]이 때, $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$ , $1 \leq j \leq m$)은 모두 체 $F$의 원소이다. 그냥 벡터의 뭉탱이라고 생각하면 된다.